Funções¹

Conceito

Sejam A e B dois conjuntos vazios. Chama-se função de A em B, qualquer relação de A e B que associa a cada elemento de A um único elemento de B, ou seja, a função de A em B é uma relação entre duas grandezas variáveis.

Exemplos:
a) O número de telefones portáteis (celulares) em operação no país cresce no decorrer dos anos.
b) A taxa de infecção hospitalar nos últimos anos é mais freqüente em U.T.I. de hospitais.

Função²

Exemplo – São dados os conjuntos A = {-1, 7, 17} e B = {-9, -7, 0, 9, 29}. Seja a relação de A em B expressa pela fórmula y = 2x - 5 , com x

É uma função, pois todos os elementos de A estão associados a elementos de B e cada elemento de A está associado a único elemento de B.

Observação: não será função de A em B quando pelo menos um elemento do conjunto A não está associado a nenhum elemento de B ou quando um elemento de A está associado a mais de um elemento de B.

     Conclusão – Sendo A e B dois conjuntos não-vazios e uma relação ƒ de A em B, essa relação ƒ é uma função de A em .

Observação: y = ƒ(x) y e ƒ(x) são equivalentes na linguagem matemática.

Gráfico

Gráfico de uma função no plano cartesiano

Um dos aspectos mais importantes do estudo de uma função é a construção de seu gráfico, isto é, do desenho” que a representa.

Aplicação
Dada a função y = x2 – 1, construa um gráfico no plano cartesiano.


    Solução:
Inicialmente, atribuímos valores a x e encontramos os respectivos valores para y. Com esses valores, montamos uma tabela, que nos fornece pontos do gráfico:

Em seguida, localizamos esses pontos no plano cartesiano e os unimos, obtendo o gráfico abaixo.

→  Estudo do domínio, contradomínio e imagem

a) Domínio (D(f)) – Conjunto de “partida” das setas, ou seja, de todos os valores possíveis para x.
b) Contradomínio (CD(f)) – Conjunto de “chegada” das setas.
c) Imagem (Im(f)) – Conjunto dos elementos “atingidos” pelas setas, ou seja, de todas as ../imagens do domínio


Aplicação
01. Dados os conjuntos A= {- 1, 5, 7} e B= {- 7, - 1, 0, 1, 5, 10} e considere a função ƒ: A B definida por ƒ(x) = x – 6 . Determinar o domínio, contradomínio e a imagem da função.

     Solução:
a) D(f) = {- 1, 5, 7} → Dominio
b) CD(f) = B → Contradominio

c) Im(f) = {- 7, - 1, 1} → Imagem

Observação: No gráfico do plano cartesiano, temos:

a) O domínio de uma função é o conjunto de valores que podemos atribuir a x, para que exista um único y.

b) A imagem de uma função é conjunto de valores de y que correspondem a valores de x.

02. Observando o gráfico de uma função no plano cartesiano, determinar o domínio D e o conjunto imagem Im.

Funções compostas

Observando as funções f : x →y

y = x + 1 e g : y →z  z = y2, representadas por diagramas de setas, notamos que, em f, x leva a y e, em g, y leva a z:

Mas há uma função que permite “ir direto” de X para Z, sem passar por Y.

Assim, se z = g(y) e y = f(x), então z = g(f(x)) .

Como f(x) = x + 1 e g(y) = y2, temos:

z= g(f(x)) = g(x + 1) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1.

Logo, g(f(x)) = x2 + 2x + 1 é a função que transforma os elementos de X nos elementos de Z.

   Conclusão: A função g(f(x)), que estabelece uma correspondência direta entre X e Z, sem passar por Y, é a composta de f(x) e g(y).

Aplicação

Dados f(x) = 3x e g(x) = 3x+2, calcular g(f(x)) e fog

     Solução:

1) g(f(x))

g(3x) = 3.(3x) + 2

 g(3x) = 9x + 2

    2) fog = f(g(x))

f(3x + 2) = 3. (3x + 2)

 f(3x + 2) = 9x + 6

Função inversa

Observe, no diagrama de setas abaixo, a função f : A →B f(x) = x – 5, que transforma os elementos de A nos de B:

   Conclusão: A condição necessária e suficiente para que uma função tenha inversa é que seja sobrejetora e injetora, ou seja, bijetora. No caso, temos que g é a função inversa de f.

Aplicação

Como a variável x está sob radical de índice par e também no denominador da fração:

Funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras

1.º Tipo – Sobrejetora

f é sobrejetora Im(f) = CD(f)

A função é sobrejetora se a sua imagem for igual ao seu contradomínio.

2.º tipo – Injetora

A cada elemento do conjunto A corresponde um elemento distinto do conjunto B. De modo geral, uma função f : A B é injetora se, e somente se, para todo y B existe um único x A, tal que y = f(x).

3.º Tipo – Bijetora

Todos os elementos de B são ../imagens únicas dos elementos de A. De um modo geral a função é bijetora quando é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

Funções crescentes e decrescente

Crescente – À medida que x “ aumenta”, as ../imagens vão “aumentando”  x1 < x2 f(x1) < f (x2)

Decrescente – à medida que x “aumenta”, as ../imagens vão “diminuindo”(decrescendo)

x1 < x2 →F(x1) > f(x2)

Questões de Vestibular¹

1 – (UCSal)

Sejam f e g funções de R em R, sendo R o conjunto dos números reais, dadas por f(x) = 2x - 3 e f(g(x)) = -4x + 1. Nestas condições, g(-1) é igual a:

a) -5                 b) -4                           c) 0

d) 4                   e) 5

2 – (UCSal)

O maior valor assumido pela função y = 2 - x - 2é:

a) 1                   b) 2                             c) 3

d) 4                   e) 5

3 – (UCSal)

O gráfico da função f de R em R, dada por f(x) = 1 - x- 2, intercepta o eixo das abcissas nos pontos (a,b) e (c,d). Nestas condições o valor de d + c - b - a é:

a) 4                  b) -4                            c) 5

d) -5                e) 0

4 – (UFBA)

Se f (g (x) ) = 5x - 2 e f (x) = 5x + 4 , então g(x) é igual a:

a) x – 2            b) x – 6                       c) x - 6/5

d) 5x – 2          e) 5x + 2

5 – (INFO)

Chama-se ponto fixo de uma função f a um número x tal que f(x) = x. Se o ponto fixo da função f(x) = mx + 5 é igual a 10, então podemos afirmar que o módulo do décuplo do ponto fixo da função g(x) = 2x - m é igual a:

a) 5                  b) 4                            c) 3

d) 2                  e) 1

6 (UEFS)

A imagem da função f(x) = (4x + 2) / 3 é (-, 5] , para todo x pertencente a R tal que:

a) x £ 13/4       b) x < ¾                  c) x £ 3/4

d) x < 17/4       e) x < 11

7 - (INFO)

Seja f : R R , uma função tal que f ( x ) = k.x - 1. Se f [ f ( 2 ) ] = 0 e f é estritamente decrescente, o valor da k-ésima potência de 2 é igual aproximadamente a:

a) 0,500           b) 0,866                   c) 0,125

d) 0,366           e) 0,707

8 - (INFO)

Seja f(x) = ax + b; se os pares ordenados (1,5) Î f e (2,9) f então podemos afirmar que o valor do produto (a + b) (10a + 5b) é igual a:

a) 225               b) 525                     c) 255

d) 100               e) 1000

9 - (INFO)

A função f é tal que f(2x + 3) = 3x + 2. Nestas condições, f(3x + 2) é igual a:

a) 2x + 3             b) 3x + 2                c) (2x + 3) / 2

d) (9x + 1) /2       e) (9x - 1) / 3

Questões de vestibular²

10 - (INFO)

Sendo f e g duas funções tais que: f(x) = ax + b e g(x) = cx + d . Podemos afirmar que a igualdade gof(x) = fog(x) ocorrerá se e somente se:

a) b(1 - c) = d(1 - a)         b) a(1 - b) = d(1 - c)           c) ab = cd

d) ad = bc                         e) a = bc

11 - (INFO)

O conjunto imagem da função y = 1 / (x - 1) é o conjunto:

a) R - { 1 }                      b) [0,2]                       c) R - {0}

d) [0,2)                            e) (-,2]

12 - (INFO)

Dadas as proposições:

p: Existem funções que não são pares nem ímpares.

q: O gráfico de uma função par é uma curva simétrica em relação ao eixo dos y.

r: Toda função de A em B é uma relação de A em B.

s: A composição de funções é uma operação comutativa.

t: O gráfico cartesiano da função y = x / x é uma reta.

Podemos afirmar que são falsas:

a)nenhuma                      b) todas                       c) p,q e r

d) s e t                            e) r, s e t

13 - (INFO)
Dadas as funções f(x) = 4x + 5 e g(x) = 2x - 5k, ocorrerá gof(x) = fog(x) se e somente se k for igual a:
a) -1/3                           b) 1/3                            c) 0
d) 1                               e) -1


14 - (INFO)
Sendo f e g duas funções tais que fog(x) = 2x + 1 e g(x) = 2 - x então f(x) é:
a) 2 - 2x                       b) 3 - 3x                       c) 2x - 5
d) 5 - 2x                       e) uma função par.


15 - (INFO)
Sendo f e g duas funções definidas por f(x) = 6 - 2x e g(x) = 4 -x e sabendo-se que para x 4 , f(x) / g(x) 2, então:
a) x³ 4                           b) x < 4                         c) x > 4
d) x = 4                        e) x £ 4


16 – (PUC-RS)
Seja a função definida por f(x) = (2x - 3) / 5x. O elemento do domínio de f que tem -2/5 como imagem é:
a) 0                              b) 2/5                                c) -3
d) 3/4                           e) 4/3


17 - (INFO)
A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é igual a:
a) 2                              b) -2                                    c) 0
d) 3                              e) -3


18 - (INFO)
Se f(x) = 1 - 1/x , com x 0 , então determine o valor de R = 96. f(2) . f(3) . f(4) . ... . f(14) . f(15) . f(16).


19 - (INFO)
A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é igual a:
a) 2                              b) -2                                  c) 0
d) 3                              e) -3


20 - (INFO)
Se f(x) = 1/[x(x+1)] com x0 e x-1, então o valor de S = f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(100) é:
a)100                         b) 101                                 c) 100/101
d) 101/100                 e) 1

Gabarito

01 – D        02 – B         03 – A
04 – C        05 – A         06 – A
07 – E        08 – A         09 – D
10 – A        11 – C         12 – D
13 – A        14 – D         15 – C
16 – D        17 – A         18 – 6
19 – A        20 - C