Análise Combinatória

1 - Introdução
Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).
A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições.
2 - Fatorial

Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n! ) como sendo:

n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1 para n ³ 2.

Para n = 0 , teremos : 0! = 1.
Para n = 1 , teremos : 1! = 1

Exemplos:

a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
b) 4! = 4.3.2.1 = 24
c) observe que 6! = 6.5.4!
d) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
e) 10! = 10.9.8.7.6.5!
f ) 10! = 10.9.8!

3 - Princípio fundamental da contagem - PFC

Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k₁ maneiras diferentes, a segunda de k₂ maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por:
T = k₁. k₂ . k₃ . ... . k_n

Exemplo:

O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado?

Solução:

Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ.
Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no país existissem 175.760.001 veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam números suficientes para codificar todos os veículos. Perceberam?

4 - Permutações simples

4.1 - Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos.

Exemplo: com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.

4.2 - O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é  
P_n = n!    onde    n! = n(n-1)(n-2)... .1 . 

Exemplos:

a)  P₆ = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
b) Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares.
P₅ = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

4.3 - Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum.

Exemplo: 

Os possíveis anagramas da palavra REI são:
REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER.
5 - Permutações com elementos repetidos

Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente , o número total de permutações que podemos formar é dado por:

Exemplo:
Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.(não considere o acento)

Solução:
Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três , a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo k o número procurado, podemos escrever:
k= 10! / (2!.3!.2!) = 151200
Resposta: 151200 anagramas.

6 - Arranjos simples

6.1 - Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de taxa k , a todo agrupamento de k elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos:
a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb.
b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

6.2 - Representando o número total de arranjos de n elementos tomados k a k (taxa k) por A_n,k , teremos a seguinte fórmula:

Obs : é fácil perceber que A_n,n = n! = P_{n .} (Verifique)

Exemplo:

Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é marcado por uma seqüência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer(no máximo) para conseguir abri-lo?

Solução:

As seqüências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas pelo princípio fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado:
10.9.8 = 720.
Observe que 720 = A_10,3

7 - Combinações simples
7.1 - Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados k a k (taxa k) aos subconjuntos formados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados.

Exemplo:

No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar:
a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd.
b) combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd.
c) combinações de taxa 4: abcd.

7.2 - Representando por C_n,k o número total de combinações de n elementos tomados k a k  (taxa k) , temos a seguinte fórmula:

 

Nota: o número acima é também conhecido como Número binomial e indicado por:

 

Exemplo:

Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões?

Solução:

Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema de combinação de 15 elementos com taxa 10. 

Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a: 
C_15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! / 5.4.3.2.1.10! = 3003
 

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Agora que você viu o resumo da teoria, tente resolver os 3 problemas seguintes:       

01 - Um coquetel é preparado com duas ou mais bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos coquetéis diferentes podem ser preparados?
Resp: 120

02 -  Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos distintos. Quantos triângulos podem ser construídos com vértices nos 9 pontos marcados?
Resp: 84

03 - Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Sabendo que somente 2 pessoas sabem dirigir, de quantos modos poderão se acomodar para uma viagem?
Resp: 48

Exercício resolvido:

Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar aberto?

Solução:

Para a primeira porta temos duas opções: aberta ou fechada
Para a segunda porta temos também, duas opções, e assim sucessivamente.
Para as seis portas, teremos então, pelo Princípio Fundamental da Contagem - PFC:
N = 2.2.2.2.2.2 = 64
Lembrando que uma dessas opções corresponde a todas as duas portas fechadas, teremos então que o número procurado é igual a 64  - 1 = 63.

Resposta: o salão pode estar aberto de 63 modos possíveis.

Log

Definição

Dados a e b números reais e positivos, com a diferente de 1, definimos logaritmo de b na base a, o número x, cuja potência de grau x de a é igual a b. Ou seja:

Observações e consequências da definição:

1. Na expressão a esquerda a é denominado a base do logaritmo, b o logaritmando e x o logaritmo;
2. Como a e b são ambos positivos e a é diferente de 1, existe um único valor de x que satisfaz a primeira igualdade na expressão acima;
3. Decorre da definição de logaritmo que log_a1 = 0, pois a⁰ = 1. Em outras palavras, que o logaritmo de 1 em qualquer base é igual 0;
4. Do mesmo modo, observe que log_aa = 1, uma vez que a potência de grau 1 de a é o próprio a. Ou seja, que o logarítmo da base, qualquer que seja a base satisfazendo, claro, as condições da definição, é igual a 1;
5. Substituindo o valor de x da primeira igualdade na segunda, obtemos que a^log_ab = b;
6. log_ab = log_ac <=> b = c. Decorrência direta da definição (b = a^log_ac) e do fato acima (a^log_ac = c). Traduzindo: dois logaritmos em um mesma base são iguais se e somente se os logaritmandos são iguais;
7. Note que de 6. pode-se afirmar, ainda, que em uma igualdade ao se aplicar o logaritmo aos seus membros essa igualdade não se altera;
8. Ao conjunto de todos os logaritmos dos números reais positivos em uma base a (a > 0 e diferente de 1), denominamos de sistema de logaritmos de base a;
9. Entre a infinidade de sistemas de logaritmos de base a, dois são particularmente importantes: o sistema de logaritmo decimais ou de base 10 e o sistema de logaritmo neperiano (também chamado de sistema de logaritmos naturais) ou de base e (e = 2,71828…, irracional);
10. O logaritmo decimal é representado pela notação log₁₀x ou simplesmente log x. E o neperiano por log_ex ou ln x;
11. Fato histórico 1: Henry Briggs, Matemático Inglês (1561-1630) foi quem primeiro destacou a vantagem dos logaritmos de base 10, publicando a primeira tabela (ou tábua) de logaritmos de 1 a 1000 em 1617;
12. Fato histórico 2: O nome neperiano vem de John Neper, Matemático Escocês (1550-1617), autor do primeiro trabalho publicado sobre a teoria dos logaritmos. O nome natural é devido ao fato de que no estudo dos fenômenos naturais geralmente aparece uma lei exponencial de base e.

Exemplos:

Antilogaritmo

Sejam a e b dois números reais positivos com a diferente de 1. Se o logaritmo de b na base a é igual a x, então b é o antilogaritmo de x na base a. Em símbolos:

Exemplos:

Propriedades dos Logaritmos

L1. O logaritmo do produto de dois fatores reais e positivos em qualquer base a (a > 0 e diferente de 1) é igual a soma dos logaritmos dos fatores. Isto é:

Demonstração:
Fazendo z = log_a(b.c) temos, usando a definição de logaritmo, que:

a^z = b.c

Daqui, obtemos pela observação 5. acima:

a^z = a^log_ab.a^log_ac => a^z = a^{log_ab+log_ac} => z = log_ab + log_ac

Substituindo z na última igualdade fica concluída a demonstração.

Uma outra forma, também simples e similar a anterior, de demonstrar a propriedade L1 é esboçada a seguir. Fazendo:

z = log_a(b.c), x = log_ab e y = log_ac

vamos provar que z = x + y.

Aplicando a definição de logaritmo nas expressões acima obtemos, respectivamente:

a^z = bc, a^x = b e a^y = c

Substituindo b e c na primeira igualdade vem que:

a^z = a^xa^y => a^z = a^x+y => z = x + y

A propriedade L1 é válida para o logaritmo do produto de n fatores (n > 2) reais e positivos, ou seja:

log_a(b₁.b₂. … .b_n) = log_ab₁ + log_ab₂ + … + log_ab_n

A prova pode ser feita utilizando-se o método de indução sobre n, que consiste em:

• demonstrar que é verdadeira para n = 2 – já feita;
• supor que é válida para n = p > 2 e demonstrar que é verdadeira para n = p + 1.

Deixo para vocês a demonstração com a seguinte dica: agrupar como produto de dois fatores de modo a aplicar L1 e após utilizar a hipótese para n = p.
L2. O logaritmo do quociente de dois números reais e positivos em qualquer base a (a > 0 e diferente de 1) é igual ao logaritmo do dividendo menos o logaritmo do divisor nessa mesma base. Em símbolos:

Demonstração:
De maneira semelhante à adotada na propriedade L1, fazendo z = log_a(b/c) obtemos:

Como consequência direta da propriedade L2 temos que:

Cologaritmo

Dados a e b dois números reais positivos, com a diferente de 1, define-se cologaritmo de b na base a ao oposto do logaritmo de b nessa base a. Ou seja:

colog_ab = -log_ab = log_a(1/b)

L3. O logaritmo da potência de grau x de b em qualquer base a (a, b reais positivos, x real e a diferente de 1) é igual ao produto do expoente x pelo logaritmo de b na base a. Em símbolos:

Demonstração:
Novamente fazemos uso do procedimento utilizado na demonstração das propriedades anteriores:

Fica como exercício a demonstração das propriedades L2 e L3 com o uso da segunda técnica adotada para provar a propriedade L1.
Como consequência da propriedade L3 temos que: o logaritmo da raiz de índice n de b na base a é igual ao produto do inverso do índice n pelo logaritmo do radicando na base a, i.e.:

Observações sobre as Propriedades L1, L2 e L3

• São válidas somente quando temos expressões logarítmicas que envolvam as operações de multiplicação, divisão e potenciação;
• Essas propriedades não permitem obter o logaritmo de uma soma ou diferença [log_a(b + c) ou log_a(b - c)]. Nestes casos, será necessário primeiro obter o valor da soma ou da diferença.

Mudança de Base

É muito comum, e você já deve ter se deparado com o fato, ter expressões ou equações logarítmicas em que seus membros estejam em bases diferentes.
Como na aplicação das propriedades operatórias, os logaritmos devem estar todos em uma mesma base é fundamental saber como isto é feito.
Você deve se lembrar (se não, volte às observações) que no início deste artigo mencionei como importante o sistema de logaritmo decimais ou de base 10, para o qual foi construída, pelo matemático Henry Briggs, uma tábua de logaritmos que possibilita determinar o seu valor para qualquer número real positivo.
Não abordaremos aqui os conceitos de mantissa e característica do logaritmo decimal utilizados para determinar seu valor com o auxílio da tabela. Fica apenas o registro de sua importância no uso das propriedades de mudança de base que apresentamos a seguir.
L4. Dados a, b e c números reais positivos, com a e c diferentes de 1, tem-se que:

Demonstração:
Fazendo log_ab = x, log_cb = y e log_ca = z provemos que x = y/z (note que z é diferente de zero, pois por definição a é diferente de 1). De fato:

Como consequência da propriedade L4 temos:

1. log_ab = log_cb.log_ac: a demonstração é feita transformando log_cb para a base a no segundo membro da igualdade;
2. log_ab = 1/log_ba: transforme log_ab para a base b.

Exercícios Resolvidos

1. Resolver a equação 3^x = 7 (lembra-se, a do início do artigo):
Aplicando o logaritmo na base 10 aos dois membros da equação temos:

log 3^x = log 7

Pela propriedade L3:

x.log 3 = log 7 => x = log 7/log 3 = 0,845/0,477 = 1,771

2. Um capital de R$50.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros compostos de 5% ao ano, e o capital de R$45.000,00 a 6% ao ano. Em quanto tempo os montantes estarão iguais?

Um uso muito comum das propriedades de logaritmo para resolver equações exponencias é no cálculo de juros compostos cuja fórmula é:

onde M é o montante, C o capital, i a taxa de juros e t o tempo.

Solução:

Sejam M₁ e M₂ os montantes correspondentes aos capitais aplicados. Usando a fórmula, temos que:

M₁ = 50000(1 + 0,05)^t e M₂ = 45000(1 + 0,06)^t

Temos que determinar o tempo para que M₁ = M₂. Assim:

Funções¹

Conceito

Sejam A e B dois conjuntos vazios. Chama-se função de A em B, qualquer relação de A e B que associa a cada elemento de A um único elemento de B, ou seja, a função de A em B é uma relação entre duas grandezas variáveis.

Exemplos:
a) O número de telefones portáteis (celulares) em operação no país cresce no decorrer dos anos.
b) A taxa de infecção hospitalar nos últimos anos é mais freqüente em U.T.I. de hospitais.

Função²

Exemplo – São dados os conjuntos A = {-1, 7, 17} e B = {-9, -7, 0, 9, 29}. Seja a relação de A em B expressa pela fórmula y = 2x - 5 , com x

É uma função, pois todos os elementos de A estão associados a elementos de B e cada elemento de A está associado a único elemento de B.

Observação: não será função de A em B quando pelo menos um elemento do conjunto A não está associado a nenhum elemento de B ou quando um elemento de A está associado a mais de um elemento de B.

     Conclusão – Sendo A e B dois conjuntos não-vazios e uma relação ƒ de A em B, essa relação ƒ é uma função de A em .

Observação: y = ƒ(x) y e ƒ(x) são equivalentes na linguagem matemática.

Gráfico

Gráfico de uma função no plano cartesiano

Um dos aspectos mais importantes do estudo de uma função é a construção de seu gráfico, isto é, do desenho” que a representa.

Aplicação
Dada a função y = x2 – 1, construa um gráfico no plano cartesiano.


    Solução:
Inicialmente, atribuímos valores a x e encontramos os respectivos valores para y. Com esses valores, montamos uma tabela, que nos fornece pontos do gráfico:

Em seguida, localizamos esses pontos no plano cartesiano e os unimos, obtendo o gráfico abaixo.

→  Estudo do domínio, contradomínio e imagem

a) Domínio (D(f)) – Conjunto de “partida” das setas, ou seja, de todos os valores possíveis para x.
b) Contradomínio (CD(f)) – Conjunto de “chegada” das setas.
c) Imagem (Im(f)) – Conjunto dos elementos “atingidos” pelas setas, ou seja, de todas as ../imagens do domínio


Aplicação
01. Dados os conjuntos A= {- 1, 5, 7} e B= {- 7, - 1, 0, 1, 5, 10} e considere a função ƒ: A B definida por ƒ(x) = x – 6 . Determinar o domínio, contradomínio e a imagem da função.

     Solução:
a) D(f) = {- 1, 5, 7} → Dominio
b) CD(f) = B → Contradominio

c) Im(f) = {- 7, - 1, 1} → Imagem

Observação: No gráfico do plano cartesiano, temos:

a) O domínio de uma função é o conjunto de valores que podemos atribuir a x, para que exista um único y.

b) A imagem de uma função é conjunto de valores de y que correspondem a valores de x.

02. Observando o gráfico de uma função no plano cartesiano, determinar o domínio D e o conjunto imagem Im.

Funções compostas

Observando as funções f : x →y

y = x + 1 e g : y →z  z = y2, representadas por diagramas de setas, notamos que, em f, x leva a y e, em g, y leva a z:

Mas há uma função que permite “ir direto” de X para Z, sem passar por Y.

Assim, se z = g(y) e y = f(x), então z = g(f(x)) .

Como f(x) = x + 1 e g(y) = y2, temos:

z= g(f(x)) = g(x + 1) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1.

Logo, g(f(x)) = x2 + 2x + 1 é a função que transforma os elementos de X nos elementos de Z.

   Conclusão: A função g(f(x)), que estabelece uma correspondência direta entre X e Z, sem passar por Y, é a composta de f(x) e g(y).

Aplicação

Dados f(x) = 3x e g(x) = 3x+2, calcular g(f(x)) e fog

     Solução:

1) g(f(x))

g(3x) = 3.(3x) + 2

 g(3x) = 9x + 2

    2) fog = f(g(x))

f(3x + 2) = 3. (3x + 2)

 f(3x + 2) = 9x + 6

Função inversa

Observe, no diagrama de setas abaixo, a função f : A →B f(x) = x – 5, que transforma os elementos de A nos de B:

   Conclusão: A condição necessária e suficiente para que uma função tenha inversa é que seja sobrejetora e injetora, ou seja, bijetora. No caso, temos que g é a função inversa de f.

Aplicação

Como a variável x está sob radical de índice par e também no denominador da fração:

Funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras

1.º Tipo – Sobrejetora

f é sobrejetora Im(f) = CD(f)

A função é sobrejetora se a sua imagem for igual ao seu contradomínio.

2.º tipo – Injetora

A cada elemento do conjunto A corresponde um elemento distinto do conjunto B. De modo geral, uma função f : A B é injetora se, e somente se, para todo y B existe um único x A, tal que y = f(x).

3.º Tipo – Bijetora

Todos os elementos de B são ../imagens únicas dos elementos de A. De um modo geral a função é bijetora quando é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

Funções crescentes e decrescente

Crescente – À medida que x “ aumenta”, as ../imagens vão “aumentando”  x1 < x2 f(x1) < f (x2)

Decrescente – à medida que x “aumenta”, as ../imagens vão “diminuindo”(decrescendo)

x1 < x2 →F(x1) > f(x2)

Questões de Vestibular¹

1 – (UCSal)

Sejam f e g funções de R em R, sendo R o conjunto dos números reais, dadas por f(x) = 2x - 3 e f(g(x)) = -4x + 1. Nestas condições, g(-1) é igual a:

a) -5                 b) -4                           c) 0

d) 4                   e) 5

2 – (UCSal)

O maior valor assumido pela função y = 2 - x - 2é:

a) 1                   b) 2                             c) 3

d) 4                   e) 5

3 – (UCSal)

O gráfico da função f de R em R, dada por f(x) = 1 - x- 2, intercepta o eixo das abcissas nos pontos (a,b) e (c,d). Nestas condições o valor de d + c - b - a é:

a) 4                  b) -4                            c) 5

d) -5                e) 0

4 – (UFBA)

Se f (g (x) ) = 5x - 2 e f (x) = 5x + 4 , então g(x) é igual a:

a) x – 2            b) x – 6                       c) x - 6/5

d) 5x – 2          e) 5x + 2

5 – (INFO)

Chama-se ponto fixo de uma função f a um número x tal que f(x) = x. Se o ponto fixo da função f(x) = mx + 5 é igual a 10, então podemos afirmar que o módulo do décuplo do ponto fixo da função g(x) = 2x - m é igual a:

a) 5                  b) 4                            c) 3

d) 2                  e) 1

6 (UEFS)

A imagem da função f(x) = (4x + 2) / 3 é (-, 5] , para todo x pertencente a R tal que:

a) x £ 13/4       b) x < ¾                  c) x £ 3/4

d) x < 17/4       e) x < 11

7 - (INFO)

Seja f : R R , uma função tal que f ( x ) = k.x - 1. Se f [ f ( 2 ) ] = 0 e f é estritamente decrescente, o valor da k-ésima potência de 2 é igual aproximadamente a:

a) 0,500           b) 0,866                   c) 0,125

d) 0,366           e) 0,707

8 - (INFO)

Seja f(x) = ax + b; se os pares ordenados (1,5) Î f e (2,9) f então podemos afirmar que o valor do produto (a + b) (10a + 5b) é igual a:

a) 225               b) 525                     c) 255

d) 100               e) 1000

9 - (INFO)

A função f é tal que f(2x + 3) = 3x + 2. Nestas condições, f(3x + 2) é igual a:

a) 2x + 3             b) 3x + 2                c) (2x + 3) / 2

d) (9x + 1) /2       e) (9x - 1) / 3

Questões de vestibular²

10 - (INFO)

Sendo f e g duas funções tais que: f(x) = ax + b e g(x) = cx + d . Podemos afirmar que a igualdade gof(x) = fog(x) ocorrerá se e somente se:

a) b(1 - c) = d(1 - a)         b) a(1 - b) = d(1 - c)           c) ab = cd

d) ad = bc                         e) a = bc

11 - (INFO)

O conjunto imagem da função y = 1 / (x - 1) é o conjunto:

a) R - { 1 }                      b) [0,2]                       c) R - {0}

d) [0,2)                            e) (-,2]

12 - (INFO)

Dadas as proposições:

p: Existem funções que não são pares nem ímpares.

q: O gráfico de uma função par é uma curva simétrica em relação ao eixo dos y.

r: Toda função de A em B é uma relação de A em B.

s: A composição de funções é uma operação comutativa.

t: O gráfico cartesiano da função y = x / x é uma reta.

Podemos afirmar que são falsas:

a)nenhuma                      b) todas                       c) p,q e r

d) s e t                            e) r, s e t

13 - (INFO)
Dadas as funções f(x) = 4x + 5 e g(x) = 2x - 5k, ocorrerá gof(x) = fog(x) se e somente se k for igual a:
a) -1/3                           b) 1/3                            c) 0
d) 1                               e) -1


14 - (INFO)
Sendo f e g duas funções tais que fog(x) = 2x + 1 e g(x) = 2 - x então f(x) é:
a) 2 - 2x                       b) 3 - 3x                       c) 2x - 5
d) 5 - 2x                       e) uma função par.


15 - (INFO)
Sendo f e g duas funções definidas por f(x) = 6 - 2x e g(x) = 4 -x e sabendo-se que para x 4 , f(x) / g(x) 2, então:
a) x³ 4                           b) x < 4                         c) x > 4
d) x = 4                        e) x £ 4


16 – (PUC-RS)
Seja a função definida por f(x) = (2x - 3) / 5x. O elemento do domínio de f que tem -2/5 como imagem é:
a) 0                              b) 2/5                                c) -3
d) 3/4                           e) 4/3


17 - (INFO)
A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é igual a:
a) 2                              b) -2                                    c) 0
d) 3                              e) -3


18 - (INFO)
Se f(x) = 1 - 1/x , com x 0 , então determine o valor de R = 96. f(2) . f(3) . f(4) . ... . f(14) . f(15) . f(16).


19 - (INFO)
A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é igual a:
a) 2                              b) -2                                  c) 0
d) 3                              e) -3


20 - (INFO)
Se f(x) = 1/[x(x+1)] com x0 e x-1, então o valor de S = f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(100) é:
a)100                         b) 101                                 c) 100/101
d) 101/100                 e) 1

Gabarito

01 – D        02 – B         03 – A
04 – C        05 – A         06 – A
07 – E        08 – A         09 – D
10 – A        11 – C         12 – D
13 – A        14 – D         15 – C
16 – D        17 – A         18 – 6
19 – A        20 - C

A história da matemática.

O primeiro objeto conhecido que atesta a habilidade de cálculo é o osso de Ishango (uma fíbula de babuíno com riscos que indicam uma contagem), e data de 20.000 anos atrás.[1] O desenvolvimento da matemática permeou as primeiras civilizações, e tornou possível o desenvolvimento de aplicações concretas: o comércio, o manejo de plantações, a medição de terra, a previsão de eventos astronômicos, e por vezes, a realização de rituais religiosos.

O estudo de estruturas matemáticas começa com a aritmética dos números naturais e segue com a extração de raízes quadradas e cúbicas, a resolução de algumas equações polinomiais de grau 2, a trigonometria e o cálculo das frações, entre outros tópicos.

Tais desenvolvimentos são creditados às civilizações acadiana, babilônica, egípcia, chinesa, ou ainda, àquelas do vale dos hindus. Na civilização grega, a matemática, influenciada pelos trabalhos anteriores, e pelas especulações filosóficas, tornou-se mais abstrata. Dois ramos se distinguiram, a aritmética e a geometria. Além disto, formalizou-se as noções de demonstração e a definição axiomática dos objetos de estudo. Os Elementos de Euclides relatam uma parte dos conhecimentos geométricos na Grécia do século III a.d.

A civilização islâmica permitiu que a herança grega fosse conservada, e propiciou seu confronto com as descobertas chinesas e hindus, notadamente na questão da representação numérica[carece de fontes?]. Os trabalhos matemáticos se desenvolveram consideravelmente tanto na trigonometria (introdução das funções trigonométricas), quanto na aritmética. Desenvolveu-se ainda a análise combinatória, a análise numérica e a álgebra de polinômios.

Na época do Renascentismo, uma parte dos textos árabes foram estudados e traduzidos para o latim. A pesquisa matemática, se concentrou então, na Europa. O cálculo algébrico se desenvolveu rapidamente com os trabalhos dos franceses Viète e René Descartes. Em seguida, Newton e Leibniz descobriram a noção de cálculo infinitesimal e introduziram a noção de fluxor (vocábulo abandonado posteriormente). Ao longo dos séculos XVIII e XIX, a matemática se desenvolveu fortemente com a introdução de novas estruturas abstratas, notadamente os grupos (graças aos trabalhos de Évariste Galois) sobre a resolubilidade de equações polinomiais, e os anéis definidos nos trabalhos de Richard Dedekind.

O que é a matemática ?

A matemática (do grego máthēma): ciência, conhecimento, aprendizagem; (mathēmatikós: apreciador do conhecimento) é a ciência do raciocínio lógico e abstrato. Ela envolve uma permanente procura da verdade. É rigorosa e precisa. Embora muitas teorias descobertas há longos anos ainda hoje se mantenham válidas e úteis, a matemática continua permanentemente a modificar-se e a desenvolver-se. Há muito tempo busca-se um consenso quanto à definição do que é a matemática. No entanto, nas últimas décadas do século XX tomou forma uma definição que tem ampla aceitação entre os matemáticos: matemática é a ciência das regularidades (padrões). Segundo esta definição, o trabalho do matemático consiste em examinar padrões abstratos, tanto reais como imaginários, visuais ou mentais. Ou seja, os matemáticos procuram regularidades nos números, no espaço, na ciência e na imaginação e as teorias matemáticas tentam explicar as relações entre elas.

Uma outra definição seria que é a investigação de estruturas abstratas definidas axiomaticamente, usando a lógica formal como estrutura comum. As estruturas específicas geralmente têm sua origem nas ciências naturais, mais comumente na física, mas os matemáticos também definem e investigam estruturas por razões puramente internas à matemática (matemática pura), por exemplo, ao perceberem que as estruturas fornecem uma generalização unificante de vários subcampos ou uma ferramenta útil em cálculos comuns.